趣题妙解
[原创] 平面一点和正n边行或者圆和球等的一大类问题

已知平面上有任意一点P，到一正n边顶点行或者圆的三点ABC距离分别为abc。正n边行顶点依次编号，已知三点的编号mnk。圆的话可以用三点圆心角坐标标记三点。正n边行顶点也是对应的圆心角坐标。

求点P到正n边行顶点或者圆其它点的距离，能给出解析表达式的给出解析表达式。

点P到顶点的距离abc，还可以换成三个点P顶到两相临顶点围成的面积，或者说到任意3条边的距离等等。

圆就是正n边行的极限。圆还可以换成球等等。

其实这些都是一个大的同类问题，点P的坐标xy和圆半径r。有些球类问题其实是考虑的点P和球心一个平面的圆和点问题，否则球类问题还需要增加一个条件，就是解xyz和r。

前面正n边行我已经得到很好的漂亮解析表达式。先让大家有兴趣的解答解答。

正n边行因为没有圆的月牙拱，就没有了反正余弦的超越函数，所以解析式也非常漂亮。但是方程要反解出来解析表达式，也需要一点技巧。

图1图2的点P可以在圆外面，就号里面上任意一点。图3的两垂直面切圆或者推广的切球，点P必须在内部，否则一个为0了就失去了作用了。或者可以那一个空的面，像前面正n变形的一样，只要两个面还和圆或者球有相交，都可以扩展成负的面积或者体积。这样P点范围扩大一些，可能更利于计算。

圆和球的问题，因为方程是带反正余弦函数，不能得到直接的解析解。可以代码得到高精度的数值解。
前面正n边问题行有漂亮的解析解形式。

圆和球问题的Python代码：

# 两互相垂直平面切一圆或者球，切成四部分，依次面积或者体积为abcd。已知abc,求d=?
# copy by yuange 2023.9.20 n 精度位数
from mpmath import *
n=10
mp.dps=n+1

rn='\r\n'

def yuan(a,b,c):

s=lambda x:pi+2*(x*sqrt(1-x*x)+asin(x))

f1=lambda x,y:s(x)*(a+c)-(pi+4*x*y)*(b+c)

f2=lambda x,y:s(-y)*(a+c)-(pi+4*x*y)*(a+b)

x,y=findroot([f1,f2],[0,0])

return (x,y,sqrt(2*(b+c)/s(x)),2*pi*(b+c)/s(x)-(a+b+c))

def qiu(a,b,c):

xy=lambda x,y:sqrt(1-x*x-y*y)

r=lambda x:sqrt(1-x*x)

v=lambda x,y: 2*x*y*xy(x,y)+2*acos(x/r(x)*y/r(y))+(x**3-3*x)*acos(y/r(x))+(y**3-3*y)*acos(x/r(y))

f1=lambda x,yy**3-3*y+2)*(b+c)+(x**3-3*x-2)*(a+b)

f2=lambda x,y:v(x,y)*(a+b)-pi*(y**3-3*y+2)*a

x,y=findroot([f1,f2],[0,0])

return (x,y,cbrt(3*(a+b)/pi/(y**3-3*y+2)),4*(a+b)/(y**3-3*y+2)-(a+b+c))

print(yuan(12,20,25),rn)
print(qiu(12,20,25),rn)

运行结果：

Python3IDE(Python 3.7) running!
(mpf('0.19231802719341'), mpf('0.091107290257496'), mpf('4.8000946072789'), mpf('15.385148055037'))

(mpf('0.16507055607961'), mpf('0.076424040881472'), mpf('2.5839653811418'), mpf('15.268440309097'))

Pytho3IDE run end!

圆心0点，半径为r，两垂直直线方向分别未xy轴，交点坐标(x,y)。四个面积依次分别为abcd。

有：

A=1/2(y*(r^2-y^2)^0.5+r^2*asin(y/r))
B=1/2(x*(r^2-x^2)^0.5+r^2*asin(x/r))

pi/4*r^2-A-B+xy=a
pi/4*r^2-A+B-xy=b
pi/4*r^2+A+B+xy=c
pi/4*r^2+A-B-xy=d

xyrabcd总共7个未知数，4个方程，所以三个自由度。知道3个就可以求出别的。

有意思的就是图中这样已知3个面积求另1个面积。

不过如果数据不是特殊值不太好解方程，只能是数值解了。

Python 代码如下：

from sympy import *
x,y,r,a,b,c,d=symbols('x y r a b c d',real=True)

'''
A=1/2(y*(r^2-y^2)^0.5+r^2*asin(y/r))
B=1/2(x*(r^2-x^2)^0.5+r^2*asin(x/r))

pi/4*r^2-A-B+xy=a
pi/4*r^2-A+B-xy=b
pi/4*r^2+A+B+xy=c
pi/4*r^2+A-B-xy=d

'''

A=(y*sqrt(r*r-y*y)+r*r*asin(y/r))/2
B=(x*sqrt(r*r-x*x)+r*r*asin(x/r))/2

a=12
b=20
c=25

aa=pi/4*r*r-A-B+x*y-a
bb=pi/4*r*r-A+B-x*y-b
cc=pi/4*r*r+A+B+x*y-c
dd=pi/4*r*r+A-B-x*y-d

eq1=Eq(0,aa)
eq2=Eq(0,bb)
eq3=Eq(0,cc)
eq4=Eq(0,dd)

res=nsolve((eq1,eq2,eq3,eq4),(x,y,r,d),(0,0,1,12))

print(res)

得到数值解结果：

Python3IDE(Python 3.7) running!
Matrix([[0.923144725213288], [0.437323612648651], [4.80009460727725], [15.3851480550887]])
Pytho3IDE run end!

面积15.385

【微软宣布在Excel中推出Python功能】

近日，微软官方网站发文宣布，在Excel中添加Python，将Python的功能融入Excel的分析功能。据介绍， Excel 中的 Python 可以在同一工作簿中本地组合 Python 和 Excel 分析 - 无需任何设置。当使用 Excel 中的 Python时，用户可以直接在单元格中键入 Python，Python 计算在 Microsoft Cloud 中运行，结果将返回到工作表，包括绘图和可视化。#微软Excel宣布集成Python# #以科技敬生活#