Luis Barragán 路易斯·巴拉干,墨西哥二十世纪有关庭园景观设计的著名建筑师 。他的作品讲究天人合一，完美的与自然融为一体，当你走近他设计的建筑中，有一瞬间恍然如梦，走出屋子仿若踏进另一片童话乐园，就要开启一段新旅程。最让人惊叹的还是光与影的结合以及活泼的色彩，感觉走进了孩子画的水彩画中，光怪陆离，五彩缤纷。 https://t.cn/RU1i6Wh
从小，基本上是一个腼腆之人，但上台表演却挺大方，不知这是否也是自己潜在的当老师的特质。自嘲了。
第一次参加文艺演出是小学一年级，和一群小伙伴跳藏族舞《北京的金山上》，好像对舞蹈有点天赋，学得很快，毫不费力，轻松掌握。演出服是自备，土法上马，一件白衬衫，一件绿上衣，脱去一只袖子，一条蓝裤子，一条白毛巾，没白的，浅色也行，用剪成一条条宽窄相同的各色电光纸，相间地粘贴在毛巾上，代替氆氇，系在腰间，成了，一看就是藏族，男生女生都一样。好在还小，没有男女之别，感觉蛮自然。正式上台前还化了彩妆，第一次体验，特兴奋，化妆最后一步是老师给每个人的眉心处点一个红点。
三年级时，曾亲自上阵，自编自导，排练了舞蹈《国际歌》，那时候的确也没几首可唱的歌曲，没有太多选择。无任何人指点，全凭自己想象，动作设计为：开始是一组雕塑般的造型，六七个人，有半卧地上的，有弓着腿身子前倾的，还有叉腿站立的，所有人都紧攥拳，将头象征性埋在半曲的手臂上端，显示出苦大仇深、满腔热血的受压迫者随时起来抗争的状态，自唱伴奏，随着歌声开始，身体未动，脸部逐渐抬起，而后昂头挺胸，一副觉醒的状态，最后，全部直立起来，进入变换队形和舞蹈阶段，当然，那时候，与其说舞蹈，不如说像广播操，肢体运动而已，只要显示出有力量就好了。排好后，老师看过，眼睛瞪的大大的，急着问：这是谁给你们排的？我自豪地回答：没别人，我们自己。老师只有吃惊。遗憾的是，本来学校是要有文艺汇演的，但不知为啥取消了，白费劲，不然，有可能会轰动。一个人才也就此被埋没了。
为参加区、市级文艺表演，教音乐的张老师准备排练芭蕾舞红色娘子军的序幕一段，琼花的演员选中了我们班上的王小琳。真够下功夫的，学校领导大力支持，拨款准备了全部演出服装，当舞鞋发下来后，新鲜啊，从王小琳哪儿抢到手里，恨不得扒开了，里外仔细看个透，爱不释手，脚太大了，否则非得穿上亲自一试不可。不知多少次，趁着夜色，自己在院子里，模仿那角色的舞姿，还有白毛女的片段，或许是此机缘，让我永远喜欢上了芭蕾。正是在那间半圆形音乐教室，她们排练现场，第一次见到了舞谱，一本精装、又厚又大的关于舞台上演员如何走步、动作规范的指导书籍，开眼界，长见识。
小学毕业那年，教常识的张老师教会了我几个小魔术，于是，我找了另一个同学当助手，自制了简单的道具，参加了学校的文艺演出。因为这类节目很少见，当天特意把我们放到了最后一个出场。那次是借用的正规礼堂，在后台，听到主持人宣布下面一个节目是魔术时，场下一片欢腾，可以说近乎沸腾，大声欢呼。即使这样，也并未觉紧张，整个演出顺畅，没有纰漏。不过，大幕还没拉上，我们要下台时，根本没多想，顺手就把用作道具的棉帽子又戴在了头上，下台后，搭档一个劲埋怨我，说我不应该急着戴帽子，让人看了就知道全是假的。我开始不以为然，本来魔术就不是真的嘛，无所谓，可转念一想，还是他对，表演就应该假戏真做，都怪经验不足，如果下台时是捧着帽子，且小心翼翼走下去，那就完满了，必定，我们变了好几个用兵乓球代替的鸡蛋在帽子里呀。
中学时，到农村劳动，睡地铺，房间里有一位年青教体育的男老师，挺帅的，对我蛮好，让我挨着他睡，总是表扬我。一次，他组织开会讨论，大家就围坐在铺上，为活跃气氛，先让每个人唱首歌，我选的是长征组歌里的一首《过雪山草地》，那天状态不错，唱的挺好，刚唱完，大家就鼓起掌来，尤其是他，还特意问大家：唱的好不好？回答当然是肯定的：好——。好在没人说再来一首，再唱，恐怕就要出丑了。后来，在一次学校组织的各班班干部联欢会上，有人意外叫了我的名字，并没有准备，又选择了这首歌，原本是以为可以再出个彩的，可那天人多，大家都坐着，我是要站起来唱的，气氛不一样，不留意，调子起高了，最后高音实在唱不上去，只能唱半截就打住了，半途而废。很不好意思，演砸了。
刚上高中的那年年底，学校搞文艺汇演，我们班是男生小合唱，五名男生，我是其中之一，另有班上的一名同学手风琴伴奏。一共唱两首歌，记得当时排练，学校一位有特长的老师给我们指导，那老师一个劲夸：这几个人长的真好，都这么顺溜。班主任也重视，特意从专业演出团队那里借了服装给我们，那是一身湖蓝色中山装，有垫肩，非常合身。太喜欢了，没演出呢，自己就穿了好几次，臭美，班主任见了，不仅没说什么不是，反倒建议说：你穿着好看，回头让家里给你做一身。班主任那人绝不会有别的意思，他是真心的，可他哪里了解，如果我提出让家里做这样一身衣服，他们非要把我打出家门不可。有了这身行头，我们几个挺争气，演出效果不错，评价很高。
在大学的第一年春节，班里搞联欢，各班都要出节目，我们班也是小合唱，除了实在是五音不全的，都上阵了，唱了三首歌，这时候可选歌曲就多了，还包括有一首外国民歌，因班里一位文艺有特长，手风琴拉的也不错，最后，表演成功，博得喝彩。我这个平时少言寡语之人，演出并非初出茅庐，所以，让有些人吃惊不小。
到了部队，又是第一年的春节，连队文艺联欢，我上了一首独唱，选的是《我的中国心》，唱的也不错，只是那天晚上，连里的一名战士出了点事，把一个挺好的晚会给搅了，连队干部都没参加，大大降低了影响力和满足感。
如果好好训练，凭自己的嗓音，歌应该可以唱得更好，但唱歌不是我的最爱，舞蹈则不然，绝对是钟爱。因为爱，自然也想跳，大学期间，有很长一段时间，每天中午都一个人跑到阵地后面的那片小空地，那里墙边有座平房，在窗台处压腿，练拉伸，不过，无论如何卖力，没有童子功啊，二十岁才开始，太晚了，天生柔韧性又不好，身体僵硬，拉不开，努力试着两只脚平摆，费了牛劲，也就是六十度多一点，想要达到直线，一百八十度，这辈子难呀，别说横叉了，竖叉也下不去，再用力，非撕裂了不可。但肢体到不到位不重要，又不是演给别人看，自己感受节奏和旋律，自我的身心体验、专心享受才最重要。
一次星期天下午，电视播放英国皇家芭蕾舞团访华上演的《胡桃夹子》全剧，实属难得，按时坐在了电视机前，还好，总共就两个台，那天没有其他什么节目，如愿以偿，否则，一定看不上，整个俱乐部唯有我一个人，安安静静，全心投入，无人干扰。周末是两餐，到了开饭时间，剧目尚未结束，干脆，饭也不吃了，直到看完。看到舞台上演员的表演，我能体验到仿若自己的身体已融入其中，在美妙震撼的交响乐伴奏下，旋转，跳跃，舒展，奔放，那种感觉太诱惑、太迷人了。
毕业后，自己也经常拿着收音机，后来是录音机，在八十三营的球场上，在长哨营团部的房顶上，在寝室里，在家中，一个人随着音乐随意起舞，没有观众，就是完全的自我尽兴和陶醉。尤其是在团部那阵子，每天晚餐后，提着四喇叭录音机，放一盘贝多芬的《命运》盒带，到屋顶上尽兴发挥，翩翩舞蹈，放眼四周，山峦叠嶂，群峰环抱，绿意盎然，一个人的世界，放飞自我，投入，爽心，愉悦，抒情，兴奋…
我甚至曾给自己买了专业的舞蹈服，还有高腰的鞋子，不过，除了试穿过一次，再没有派上过用场。
第一次参加文艺演出是小学一年级，和一群小伙伴跳藏族舞《北京的金山上》，好像对舞蹈有点天赋，学得很快，毫不费力，轻松掌握。演出服是自备，土法上马，一件白衬衫，一件绿上衣，脱去一只袖子，一条蓝裤子，一条白毛巾，没白的，浅色也行，用剪成一条条宽窄相同的各色电光纸，相间地粘贴在毛巾上，代替氆氇，系在腰间，成了，一看就是藏族，男生女生都一样。好在还小，没有男女之别，感觉蛮自然。正式上台前还化了彩妆，第一次体验，特兴奋，化妆最后一步是老师给每个人的眉心处点一个红点。
三年级时，曾亲自上阵，自编自导，排练了舞蹈《国际歌》，那时候的确也没几首可唱的歌曲，没有太多选择。无任何人指点，全凭自己想象，动作设计为：开始是一组雕塑般的造型，六七个人，有半卧地上的，有弓着腿身子前倾的，还有叉腿站立的，所有人都紧攥拳，将头象征性埋在半曲的手臂上端，显示出苦大仇深、满腔热血的受压迫者随时起来抗争的状态，自唱伴奏，随着歌声开始，身体未动，脸部逐渐抬起，而后昂头挺胸，一副觉醒的状态，最后，全部直立起来，进入变换队形和舞蹈阶段，当然，那时候，与其说舞蹈，不如说像广播操，肢体运动而已，只要显示出有力量就好了。排好后，老师看过，眼睛瞪的大大的，急着问：这是谁给你们排的？我自豪地回答：没别人，我们自己。老师只有吃惊。遗憾的是，本来学校是要有文艺汇演的，但不知为啥取消了，白费劲，不然，有可能会轰动。一个人才也就此被埋没了。
为参加区、市级文艺表演，教音乐的张老师准备排练芭蕾舞红色娘子军的序幕一段，琼花的演员选中了我们班上的王小琳。真够下功夫的，学校领导大力支持，拨款准备了全部演出服装，当舞鞋发下来后，新鲜啊，从王小琳哪儿抢到手里，恨不得扒开了，里外仔细看个透，爱不释手，脚太大了，否则非得穿上亲自一试不可。不知多少次，趁着夜色，自己在院子里，模仿那角色的舞姿，还有白毛女的片段，或许是此机缘，让我永远喜欢上了芭蕾。正是在那间半圆形音乐教室，她们排练现场，第一次见到了舞谱，一本精装、又厚又大的关于舞台上演员如何走步、动作规范的指导书籍，开眼界，长见识。
小学毕业那年，教常识的张老师教会了我几个小魔术，于是，我找了另一个同学当助手，自制了简单的道具，参加了学校的文艺演出。因为这类节目很少见，当天特意把我们放到了最后一个出场。那次是借用的正规礼堂，在后台，听到主持人宣布下面一个节目是魔术时，场下一片欢腾，可以说近乎沸腾，大声欢呼。即使这样，也并未觉紧张，整个演出顺畅，没有纰漏。不过，大幕还没拉上，我们要下台时，根本没多想，顺手就把用作道具的棉帽子又戴在了头上，下台后，搭档一个劲埋怨我，说我不应该急着戴帽子，让人看了就知道全是假的。我开始不以为然，本来魔术就不是真的嘛，无所谓，可转念一想，还是他对，表演就应该假戏真做，都怪经验不足，如果下台时是捧着帽子，且小心翼翼走下去，那就完满了，必定，我们变了好几个用兵乓球代替的鸡蛋在帽子里呀。
中学时，到农村劳动，睡地铺，房间里有一位年青教体育的男老师，挺帅的，对我蛮好，让我挨着他睡，总是表扬我。一次，他组织开会讨论，大家就围坐在铺上，为活跃气氛，先让每个人唱首歌，我选的是长征组歌里的一首《过雪山草地》，那天状态不错，唱的挺好，刚唱完，大家就鼓起掌来，尤其是他，还特意问大家：唱的好不好？回答当然是肯定的：好——。好在没人说再来一首，再唱，恐怕就要出丑了。后来，在一次学校组织的各班班干部联欢会上，有人意外叫了我的名字，并没有准备，又选择了这首歌，原本是以为可以再出个彩的，可那天人多，大家都坐着，我是要站起来唱的，气氛不一样，不留意，调子起高了，最后高音实在唱不上去，只能唱半截就打住了，半途而废。很不好意思，演砸了。
刚上高中的那年年底，学校搞文艺汇演，我们班是男生小合唱，五名男生，我是其中之一，另有班上的一名同学手风琴伴奏。一共唱两首歌，记得当时排练，学校一位有特长的老师给我们指导，那老师一个劲夸：这几个人长的真好，都这么顺溜。班主任也重视，特意从专业演出团队那里借了服装给我们，那是一身湖蓝色中山装，有垫肩，非常合身。太喜欢了，没演出呢，自己就穿了好几次，臭美，班主任见了，不仅没说什么不是，反倒建议说：你穿着好看，回头让家里给你做一身。班主任那人绝不会有别的意思，他是真心的，可他哪里了解，如果我提出让家里做这样一身衣服，他们非要把我打出家门不可。有了这身行头，我们几个挺争气，演出效果不错，评价很高。
在大学的第一年春节，班里搞联欢，各班都要出节目，我们班也是小合唱，除了实在是五音不全的，都上阵了，唱了三首歌，这时候可选歌曲就多了，还包括有一首外国民歌，因班里一位文艺有特长，手风琴拉的也不错，最后，表演成功，博得喝彩。我这个平时少言寡语之人，演出并非初出茅庐，所以，让有些人吃惊不小。
到了部队，又是第一年的春节，连队文艺联欢，我上了一首独唱，选的是《我的中国心》，唱的也不错，只是那天晚上，连里的一名战士出了点事，把一个挺好的晚会给搅了，连队干部都没参加，大大降低了影响力和满足感。
如果好好训练，凭自己的嗓音，歌应该可以唱得更好，但唱歌不是我的最爱，舞蹈则不然，绝对是钟爱。因为爱，自然也想跳，大学期间，有很长一段时间，每天中午都一个人跑到阵地后面的那片小空地，那里墙边有座平房，在窗台处压腿，练拉伸，不过，无论如何卖力，没有童子功啊，二十岁才开始，太晚了，天生柔韧性又不好，身体僵硬，拉不开，努力试着两只脚平摆，费了牛劲，也就是六十度多一点，想要达到直线，一百八十度，这辈子难呀，别说横叉了，竖叉也下不去，再用力，非撕裂了不可。但肢体到不到位不重要，又不是演给别人看，自己感受节奏和旋律，自我的身心体验、专心享受才最重要。
一次星期天下午，电视播放英国皇家芭蕾舞团访华上演的《胡桃夹子》全剧，实属难得，按时坐在了电视机前，还好，总共就两个台，那天没有其他什么节目，如愿以偿，否则，一定看不上，整个俱乐部唯有我一个人，安安静静，全心投入，无人干扰。周末是两餐，到了开饭时间，剧目尚未结束，干脆，饭也不吃了，直到看完。看到舞台上演员的表演，我能体验到仿若自己的身体已融入其中，在美妙震撼的交响乐伴奏下，旋转，跳跃，舒展，奔放，那种感觉太诱惑、太迷人了。
毕业后，自己也经常拿着收音机，后来是录音机，在八十三营的球场上，在长哨营团部的房顶上，在寝室里，在家中，一个人随着音乐随意起舞，没有观众，就是完全的自我尽兴和陶醉。尤其是在团部那阵子，每天晚餐后，提着四喇叭录音机，放一盘贝多芬的《命运》盒带，到屋顶上尽兴发挥，翩翩舞蹈，放眼四周，山峦叠嶂，群峰环抱，绿意盎然，一个人的世界，放飞自我，投入，爽心，愉悦，抒情，兴奋…
我甚至曾给自己买了专业的舞蹈服，还有高腰的鞋子，不过，除了试穿过一次，再没有派上过用场。
上课与论文（二）
“韩信点兵”问题的教学设计
一、给出问题
例：“韩信点兵”问题.（07版高中新教材3，第88页例4）
韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道部队的实力，采用了下述点兵的方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一位士兵报到3；又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快地就算出了部队士兵的总人数。请设计一个算法，求出士兵至少有多少人。
何为算法，粗略地讲，是为解决一个特定问题而采取的确定的有限的步骤。做任何事情都应先有解决问题的具体的思路。
下面就来讨论“韩信点兵”问题。
二、寻路求解
“韩信点兵”时采用的是循环数点名法：即士兵从1报到3,再从1又报到3,横排按顺S报数继续，……,直到最后一位士兵报出数2停止。这个报数点名的过程包含着一个简单的数学问题：若设士兵总人数为N，则N=3K1+2（K1=0,1,2,…）其中K1为报名时循环的次数。这样若是循环1到5的正整数报数点名，则士兵总人数为N=5K2+3（K2=0,1,2,…），若采用循环1到7报数点名，则士兵总人数为N=7K3+4（K3=0,1,2,…）.显然，满足上面三个条件中任意一个（或2个或3个）都不能确定士兵总人数N.理由很简单，从方程求解的角度来分析上面的三个条件，即满足
N=3K1+2（K1=0,1,2,…）(I)
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）(II)
N=7K3+4（K3=0,1,2,…）(III)
当满足一个条件时，相当于二元一次方程求正整数解，没有确定解；当满足其中任两个条件时，相当于两个三元一次方程组求正整数解，一般情况下无定解；当满足三个条件时相当于三个四元一次方程组求正整数解，通常一般情形也无定解。通过以上的分析尽管这些条件虽不能确定具体的数，但可相应地说明该数具有的一些特点。比如满足条件I，可由小到大列出2,5,8,11,14,…一列数，至此，基本上搞清了“韩信点兵”问题揭示的一个简单的数学问题。即知余数和除数确定最小的被除数。
继续从数学的角度来探讨这个问题，即由N=3K1+2（K1=0,1,2,…）；
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）；
N=7K3+4 (K3=0,1,2,…）可变形出(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3（*），求Nmin.由（*）可以发现求Nmin有一定的困难。但欣慰的是在对该问题的分析过程中知道，它总可以分解为五个小问题，每个小问题的解决有相应确定的步骤，这就提醒我们可设计一个算法，借助计算机来求解这个问题的解Nmin.
下面将要解决该问题具体的求解步骤问题。
三、算法设计
如何用自然语言表示该问题的算法呢？可以考虑从特殊的正整数序列中筛选出符合要求的数。
第一步易实现确定最小的除3余2的正整数为2；第二步依次加3得出除3余2的一列数（通项式N=3K1+2,K1=0 1,2,…）2,5,8,11,14…,32,35,…,53,56,…；第三步在此列数中确定最小的除以5余3的正整数为8，正整数8既满足条件I，也满足条件II且是最小的符合要求的数，进而产生一个新的正整数数列，依次加15,得到8,23,38,53,…,即可证明满足条件I和条件II，因为
N=15K4+8,（K4=0,1,2,…）
=3×5K4+3×2+2
=3×(5K4+2)+2 （其中5K4+2为正整数）
满足条件I
N=15K4+8，（K4=0,1,2,……）
=5×3K4+5×1+3
=5×(3K4+1)+3 （其中3K4+1为正整数）
满足条件II.
第四步从得到的一列数中找到满足条件III的最小正整数Nmin.这是我们要求的一个数。
在完成了上述步骤后，就找到了所求数53，这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法。能否在这个算法的基础上做一些优化，以便更简地获得结果呢？
四、优化方案
1.算理拟优化方案
“韩信点兵”问题的算理可从集合的角度去考虑，如附图（略）.问题的实质是求对应三个集合的交集中的最小元素问题。该思路能很好的理解“韩信点兵”做法的数学实质。有兴趣的同学可从这方面作一些尝试，找是否有可行的算法，“韩信点兵”问题的算理也可从数列的角度加以考虑，即产生三个数列：
N=3K1+2 （K1=0,1,2,…）
2,5,8,11,14,…,53,…
N=5K2+3 （K2=0,1,2,…）
3,8,13,18,23,28,…,53,…
N=7K3+4 （K4=0,1,2,…）
4,11,18,25,32,…,53,…
从这三个数列中找最小的相同项，即得到53.
2.算法拟优化方案
由(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3知任意改变3,5,7因数的顺序，上面式子不变，因而任取3,5,7的一个排列，就产生类似于上面算法的一个算法，比如，按由大到小即7,5,3步骤也可实现（见教材第89页算法），可见由教材的算理可以有类似的6个元素的全排列种算法。但从本质上说并未真正地优化了算法。但却丰富了该问题的算法。优化算法的思想意识任何时候都应该有。
五、引思启示
（1）“韩信点兵”问题的符合要求的最小正整数53已得到。若要再问还有没有符合要求的其它数？若有第二个数应该是多少？能否找到答案的一个通式来验证。通过“韩信点兵”问题从数学角度加以分析，很快可以得到下面的一个公式，即N=3×5×7K5+53(K5=0,1,2,…)，该公式是满足条件I，II，III的通解。可仿上面类似证明。这也说明了用韩信的方法点兵得到的士兵人数是些正整数的集合，因而一个答案是求至少有多少个士兵。从这个例子的分析再次说明了算法是解决某类问题的一系列具体步骤或子程序，只要按这些步骤执行，就能使问题得到解决。
（2）对任何一个数学问题用算法解决都存在一个优化算法的步骤在内。针对某一具体问题的算法，可以通过交流思考，从中去粗取优，存精取巧，做求优求简的改进。寻求新的算法，掌握较成熟的少数算法，将是利用计算机解决问题所需不懈努力的目标。通过例子进一步体会算法的基本思想，体会到一个问题的解决可能存在多种算法，有优劣之分。深切地感受到算法思想在解决一些问题时的优越性、工具性。
杨宏联2019年7月28日该文章发表于《中学数学教学参考》2007年第10期下旬刊
说明：
2007年新版高中数学教材还未试行，那时才开始全员培训高中教师，2007年8月初在宝鸡培训结束后在那个暑假里用一个下午立即写的论文《“韩信点兵”问题的教学设计》，与之相关的各种数学教辅资料还没有出现呢！写论文也是出于当时评审中学数学一级教师的需要。
杨宏联2019年7月31日
上课与论文
教师正式发表了文章是有用的，工作多年来，都不曾下功夫写论文，除非非作不可，才勉强成篇。以现在看来，若以当初高中上过数学课来说，大致每一节课都可以成为写论文的材料，如今不作课堂有关的话题，主要是为写的真实，曾经上过的课绝不是纸上谈兵，有不实造作之嫌，当初上课可不是写文章，可以随时修改，特别是数学课讲究最初概念的正确建立，严密、严谨是必须的。对学生上课可谓不遗余力，知识是满满的货真价实，不缩水，每一节课不是完全备在教案上，而是备在脑子里，备在学生求知的欲望上，上过的每一节课不是技巧的填充，不是动听言辞的修饰，不是课堂不当的掩饰。那时上课是且纯且高的。如今那些场景依然历历在目，只是已经离开了讲台，便不做那方面的文章。
杨宏联2019年7月8日 https://t.cn/A6Ut1FIE
“韩信点兵”问题的教学设计
一、给出问题
例：“韩信点兵”问题.（07版高中新教材3，第88页例4）
韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道部队的实力，采用了下述点兵的方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一位士兵报到3；又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快地就算出了部队士兵的总人数。请设计一个算法，求出士兵至少有多少人。
何为算法，粗略地讲，是为解决一个特定问题而采取的确定的有限的步骤。做任何事情都应先有解决问题的具体的思路。
下面就来讨论“韩信点兵”问题。
二、寻路求解
“韩信点兵”时采用的是循环数点名法：即士兵从1报到3,再从1又报到3,横排按顺S报数继续，……,直到最后一位士兵报出数2停止。这个报数点名的过程包含着一个简单的数学问题：若设士兵总人数为N，则N=3K1+2（K1=0,1,2,…）其中K1为报名时循环的次数。这样若是循环1到5的正整数报数点名，则士兵总人数为N=5K2+3（K2=0,1,2,…），若采用循环1到7报数点名，则士兵总人数为N=7K3+4（K3=0,1,2,…）.显然，满足上面三个条件中任意一个（或2个或3个）都不能确定士兵总人数N.理由很简单，从方程求解的角度来分析上面的三个条件，即满足
N=3K1+2（K1=0,1,2,…）(I)
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）(II)
N=7K3+4（K3=0,1,2,…）(III)
当满足一个条件时，相当于二元一次方程求正整数解，没有确定解；当满足其中任两个条件时，相当于两个三元一次方程组求正整数解，一般情况下无定解；当满足三个条件时相当于三个四元一次方程组求正整数解，通常一般情形也无定解。通过以上的分析尽管这些条件虽不能确定具体的数，但可相应地说明该数具有的一些特点。比如满足条件I，可由小到大列出2,5,8,11,14,…一列数，至此，基本上搞清了“韩信点兵”问题揭示的一个简单的数学问题。即知余数和除数确定最小的被除数。
继续从数学的角度来探讨这个问题，即由N=3K1+2（K1=0,1,2,…）；
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）；
N=7K3+4 (K3=0,1,2,…）可变形出(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3（*），求Nmin.由（*）可以发现求Nmin有一定的困难。但欣慰的是在对该问题的分析过程中知道，它总可以分解为五个小问题，每个小问题的解决有相应确定的步骤，这就提醒我们可设计一个算法，借助计算机来求解这个问题的解Nmin.
下面将要解决该问题具体的求解步骤问题。
三、算法设计
如何用自然语言表示该问题的算法呢？可以考虑从特殊的正整数序列中筛选出符合要求的数。
第一步易实现确定最小的除3余2的正整数为2；第二步依次加3得出除3余2的一列数（通项式N=3K1+2,K1=0 1,2,…）2,5,8,11,14…,32,35,…,53,56,…；第三步在此列数中确定最小的除以5余3的正整数为8，正整数8既满足条件I，也满足条件II且是最小的符合要求的数，进而产生一个新的正整数数列，依次加15,得到8,23,38,53,…,即可证明满足条件I和条件II，因为
N=15K4+8,（K4=0,1,2,…）
=3×5K4+3×2+2
=3×(5K4+2)+2 （其中5K4+2为正整数）
满足条件I
N=15K4+8，（K4=0,1,2,……）
=5×3K4+5×1+3
=5×(3K4+1)+3 （其中3K4+1为正整数）
满足条件II.
第四步从得到的一列数中找到满足条件III的最小正整数Nmin.这是我们要求的一个数。
在完成了上述步骤后，就找到了所求数53，这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法。能否在这个算法的基础上做一些优化，以便更简地获得结果呢？
四、优化方案
1.算理拟优化方案
“韩信点兵”问题的算理可从集合的角度去考虑，如附图（略）.问题的实质是求对应三个集合的交集中的最小元素问题。该思路能很好的理解“韩信点兵”做法的数学实质。有兴趣的同学可从这方面作一些尝试，找是否有可行的算法，“韩信点兵”问题的算理也可从数列的角度加以考虑，即产生三个数列：
N=3K1+2 （K1=0,1,2,…）
2,5,8,11,14,…,53,…
N=5K2+3 （K2=0,1,2,…）
3,8,13,18,23,28,…,53,…
N=7K3+4 （K4=0,1,2,…）
4,11,18,25,32,…,53,…
从这三个数列中找最小的相同项，即得到53.
2.算法拟优化方案
由(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3知任意改变3,5,7因数的顺序，上面式子不变，因而任取3,5,7的一个排列，就产生类似于上面算法的一个算法，比如，按由大到小即7,5,3步骤也可实现（见教材第89页算法），可见由教材的算理可以有类似的6个元素的全排列种算法。但从本质上说并未真正地优化了算法。但却丰富了该问题的算法。优化算法的思想意识任何时候都应该有。
五、引思启示
（1）“韩信点兵”问题的符合要求的最小正整数53已得到。若要再问还有没有符合要求的其它数？若有第二个数应该是多少？能否找到答案的一个通式来验证。通过“韩信点兵”问题从数学角度加以分析，很快可以得到下面的一个公式，即N=3×5×7K5+53(K5=0,1,2,…)，该公式是满足条件I，II，III的通解。可仿上面类似证明。这也说明了用韩信的方法点兵得到的士兵人数是些正整数的集合，因而一个答案是求至少有多少个士兵。从这个例子的分析再次说明了算法是解决某类问题的一系列具体步骤或子程序，只要按这些步骤执行，就能使问题得到解决。
（2）对任何一个数学问题用算法解决都存在一个优化算法的步骤在内。针对某一具体问题的算法，可以通过交流思考，从中去粗取优，存精取巧，做求优求简的改进。寻求新的算法，掌握较成熟的少数算法，将是利用计算机解决问题所需不懈努力的目标。通过例子进一步体会算法的基本思想，体会到一个问题的解决可能存在多种算法，有优劣之分。深切地感受到算法思想在解决一些问题时的优越性、工具性。
杨宏联2019年7月28日该文章发表于《中学数学教学参考》2007年第10期下旬刊
说明：
2007年新版高中数学教材还未试行，那时才开始全员培训高中教师，2007年8月初在宝鸡培训结束后在那个暑假里用一个下午立即写的论文《“韩信点兵”问题的教学设计》，与之相关的各种数学教辅资料还没有出现呢！写论文也是出于当时评审中学数学一级教师的需要。
杨宏联2019年7月31日
上课与论文
教师正式发表了文章是有用的，工作多年来，都不曾下功夫写论文，除非非作不可，才勉强成篇。以现在看来，若以当初高中上过数学课来说，大致每一节课都可以成为写论文的材料，如今不作课堂有关的话题，主要是为写的真实，曾经上过的课绝不是纸上谈兵，有不实造作之嫌，当初上课可不是写文章，可以随时修改，特别是数学课讲究最初概念的正确建立，严密、严谨是必须的。对学生上课可谓不遗余力，知识是满满的货真价实，不缩水，每一节课不是完全备在教案上，而是备在脑子里，备在学生求知的欲望上，上过的每一节课不是技巧的填充，不是动听言辞的修饰，不是课堂不当的掩饰。那时上课是且纯且高的。如今那些场景依然历历在目，只是已经离开了讲台，便不做那方面的文章。
杨宏联2019年7月8日 https://t.cn/A6Ut1FIE
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