#数学笔记# “自然底数e”到底有多美？它似乎蕴含着宇宙无穷的秘密
数学之美，在于逻辑，逻辑之美，取法“自然”。这个世界无与伦比的美，莫过于“大自然”的鬼斧神工。我们在高中阶段接触了一个有趣的常数，那就是“自然底数e”。人们都说，这是一个非常美妙的常数，因为它的美同样来自于“自然”。那么这个来自于“自然”的常数，到底有多美呢？
早在遥远的古希腊，泰勒斯就提出要摆脱“神学”的羁绊，向“大自然”寻找规律，以解决人们生产、生活中的难题。无论是泰勒斯的哲学思想、数学成就还是他的科学精神，在西方世界都是史无前例的，对后来者产生了深远的影响，因而被人们尊称为“科学之祖”。
他的学生毕达哥拉斯继承并发扬了他的精神，创建了自己的学派，对“数”的崇拜超过了“神”的地位，他提出了“万物皆数（指整数）”的理论，认为统治这个世界的不是神，而是从“大自然”中总结出来的规律——“数”。
“大自然”之美，在于它的“无穷”。“大自然”的“无穷之美”令人无法捉摸，甚至神秘的令人恐惧。在遥远的古希腊海滩上，毕达哥拉斯带领着他的门徒们在海滩上摆出各种各样的“数列”：“自然数列”、“三角形数列”、“四方形数列”。人类的先行者们，正是用这种朴素的方法尝试去探寻“大自然”的规律。人们借助“数列”，从“事物规律”的认识由“局部”扩展至“整体”，从“有限”扩展至“无穷”。——这是人类的先行者最早运用的“归纳猜想”。
既然“自然数列”可以描述成一条直线，“三角形数”、“四方形数”也可以描绘成由“直线”组成的“几何图形”。那么曲线该如何描述呢？
在大自然中，富有诗意的曲线有很多种，然而人们认为最迷人的“曲线”则是“对数螺线”。
1638年，著名的数学家笛卡尔最早用“解析式”描述了“对数螺线”。接下来的数学家们对“对数螺线”所展现出来的美显得无比痴迷，瑞士数学家雅格·伯努利在逝世前就请人打造了一块墓碑，在墓碑上刻下了美妙的“对数螺线”，同时写上“我将按着原来的样子变化后复活”的墓志铭。
“对数旋线”所展现出来的美在大自然中随处可见，比如蜗牛的外壳的螺旋外形，向日葵籽的螺旋排布，夜空中呈螺旋形的星云，大海的螺旋涡流等。这些美妙的“对数螺线”都可以用“指数”描述成： φkρ=αe 。其中α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是“自然对数”的底。产生这种美妙“对数螺线”最核心的原因正是“自然底数e”。那么，“自然底数e”到底是如何得来的呢？
这个神秘的“自然底数e”就是由一个“数列”的“极限”产生。这个“数列”可以用这样一个通项公式描述：{ ( 1 + 1/n )^n }。“n”分别用“自然数列1、2、3、4……”一一来代入，直至“无穷”，当n为“正无穷”时，该“数列”取得的“极限”就是e，即e = lim (1+1/n)^n（e≈2.71828182845904523536……）。然而，这个“自然底数e”在数学中到底有什么用呢？
顾名思义，它最为重要的作用是作为“自然对数”的底。16世纪，随着天文、航海等领域的发展，大量的数据计算令人们感到非常头疼，当时正在研究天文学约翰·纳皮尔为了解决这些计算难题，发明了对数。对数的发明给人们繁重的计算带来了前所未有的简便。
刚开始时，人们常用对数的底为10，称为“常用对数”。后来又发现用“e”作为对数的底时，会使很多复杂的运算变得极为简单。以至于科学家们在科学理论研究中，更喜欢用“自然对数”。
在“指数函数”里，“自然底数e”还有一个更为重要的作用。那就是用来求“指数函数”的“导数”。大约1730年，欧拉定义互为逆函数的“指数函数”和“自然对数”。随着“微积分”的建立，人们发现，“指数函数的导数”与其“自身”成一定比例。于是，人们就将e^x的“导数”等于其“自身”，以此求出“指数函数”的导数。然后我们用“对数”把其他“指数函数”都换成“以e为底数的指数函数”，这样我们就能根据“e^x导数等于其自身”的定义求出其他“指数函数”的“导数”了。
无论是“社会科学”还是“自然科学”中所表现出来千奇百怪的现象，其背后都有“指数函数”的影子，其重要的特点就是“变化率”和其本身“当前的值”的关系，“当前值”会随着“变化率”的增大而增大（或减小）。这个“变化率”实际上就是“导数”。
还有一个最令人们津津乐道的就是由e所组成的最美公式“欧拉公式”：e^iπ+1=0。这个公式的原型其实是这样的：e^ix=cosx+isinx，这个公式的巧妙之处是它将三角函数的“定义域”扩大到了“复数”范围，从而在“三角函数”与“复指数函数”之间架起了桥梁，它在“复变函数论”里占有非常重要的地位。 如果将e^ix=cosx+isinx进行一系列的“证明推导”，然后将其中的“x”的值取为“π”就得到： e^iπ+1=0。这个恒等式就是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”，这个公式到底蕴含着怎样的秘密，还等待着人们去逐一解开。
数学之美，在于逻辑，逻辑之美，取法“自然”。这个世界无与伦比的美，莫过于“大自然”的鬼斧神工。我们在高中阶段接触了一个有趣的常数，那就是“自然底数e”。人们都说，这是一个非常美妙的常数，因为它的美同样来自于“自然”。那么这个来自于“自然”的常数，到底有多美呢？
早在遥远的古希腊，泰勒斯就提出要摆脱“神学”的羁绊，向“大自然”寻找规律，以解决人们生产、生活中的难题。无论是泰勒斯的哲学思想、数学成就还是他的科学精神，在西方世界都是史无前例的，对后来者产生了深远的影响，因而被人们尊称为“科学之祖”。
他的学生毕达哥拉斯继承并发扬了他的精神，创建了自己的学派，对“数”的崇拜超过了“神”的地位，他提出了“万物皆数（指整数）”的理论，认为统治这个世界的不是神，而是从“大自然”中总结出来的规律——“数”。
“大自然”之美，在于它的“无穷”。“大自然”的“无穷之美”令人无法捉摸，甚至神秘的令人恐惧。在遥远的古希腊海滩上，毕达哥拉斯带领着他的门徒们在海滩上摆出各种各样的“数列”：“自然数列”、“三角形数列”、“四方形数列”。人类的先行者们，正是用这种朴素的方法尝试去探寻“大自然”的规律。人们借助“数列”，从“事物规律”的认识由“局部”扩展至“整体”，从“有限”扩展至“无穷”。——这是人类的先行者最早运用的“归纳猜想”。
既然“自然数列”可以描述成一条直线，“三角形数”、“四方形数”也可以描绘成由“直线”组成的“几何图形”。那么曲线该如何描述呢？
在大自然中，富有诗意的曲线有很多种，然而人们认为最迷人的“曲线”则是“对数螺线”。
1638年，著名的数学家笛卡尔最早用“解析式”描述了“对数螺线”。接下来的数学家们对“对数螺线”所展现出来的美显得无比痴迷，瑞士数学家雅格·伯努利在逝世前就请人打造了一块墓碑，在墓碑上刻下了美妙的“对数螺线”，同时写上“我将按着原来的样子变化后复活”的墓志铭。
“对数旋线”所展现出来的美在大自然中随处可见，比如蜗牛的外壳的螺旋外形，向日葵籽的螺旋排布，夜空中呈螺旋形的星云，大海的螺旋涡流等。这些美妙的“对数螺线”都可以用“指数”描述成： φkρ=αe 。其中α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是“自然对数”的底。产生这种美妙“对数螺线”最核心的原因正是“自然底数e”。那么，“自然底数e”到底是如何得来的呢？
这个神秘的“自然底数e”就是由一个“数列”的“极限”产生。这个“数列”可以用这样一个通项公式描述：{ ( 1 + 1/n )^n }。“n”分别用“自然数列1、2、3、4……”一一来代入，直至“无穷”，当n为“正无穷”时，该“数列”取得的“极限”就是e，即e = lim (1+1/n)^n（e≈2.71828182845904523536……）。然而，这个“自然底数e”在数学中到底有什么用呢？
顾名思义，它最为重要的作用是作为“自然对数”的底。16世纪，随着天文、航海等领域的发展，大量的数据计算令人们感到非常头疼，当时正在研究天文学约翰·纳皮尔为了解决这些计算难题，发明了对数。对数的发明给人们繁重的计算带来了前所未有的简便。
刚开始时，人们常用对数的底为10，称为“常用对数”。后来又发现用“e”作为对数的底时，会使很多复杂的运算变得极为简单。以至于科学家们在科学理论研究中，更喜欢用“自然对数”。
在“指数函数”里，“自然底数e”还有一个更为重要的作用。那就是用来求“指数函数”的“导数”。大约1730年，欧拉定义互为逆函数的“指数函数”和“自然对数”。随着“微积分”的建立，人们发现，“指数函数的导数”与其“自身”成一定比例。于是，人们就将e^x的“导数”等于其“自身”，以此求出“指数函数”的导数。然后我们用“对数”把其他“指数函数”都换成“以e为底数的指数函数”，这样我们就能根据“e^x导数等于其自身”的定义求出其他“指数函数”的“导数”了。
无论是“社会科学”还是“自然科学”中所表现出来千奇百怪的现象，其背后都有“指数函数”的影子，其重要的特点就是“变化率”和其本身“当前的值”的关系，“当前值”会随着“变化率”的增大而增大（或减小）。这个“变化率”实际上就是“导数”。
还有一个最令人们津津乐道的就是由e所组成的最美公式“欧拉公式”：e^iπ+1=0。这个公式的原型其实是这样的：e^ix=cosx+isinx，这个公式的巧妙之处是它将三角函数的“定义域”扩大到了“复数”范围，从而在“三角函数”与“复指数函数”之间架起了桥梁，它在“复变函数论”里占有非常重要的地位。 如果将e^ix=cosx+isinx进行一系列的“证明推导”，然后将其中的“x”的值取为“π”就得到： e^iπ+1=0。这个恒等式就是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”，这个公式到底蕴含着怎样的秘密，还等待着人们去逐一解开。
非凡罗素思想（一）
卢梭的文化符号是忏悔孤独，叔本华的文化符号是生存虚幻，尼采的文化符号是上帝死了，培根的文化符号是宏大叙事，梭罗的文化符号是恬静落寞，杜威的文化符号是实用主义，罗素的文化符号是博大精深……罗素作为一个世界公民，数十年来如一日，奔走于东西，穿梭在欧美，不辞辛劳，殚精竭虑，为反战而屡遭厄运，为和平而不遗余力。
罗素将健康、满足需要、愉快的人际关系、成功的工作列为四个最为重要的因素。
绝大多数的人，他们拥有很多东西，本来可以使自己快快乐乐的，但只是因为别人似乎拥有更多一点的东西而产生了烦恼。虚荣心一过了头，把每种活动本身的乐趣毁掉了，于是使不了避免地无精打采，百无聊赖。原因往往是缺乏自信，对症的药是培养自尊心。
世界上各个时代有各种提倡孤独的哲学，有的高尚，有的稍逊。百年前的社会里，人人必然感到烦闷，越往古追溯上去，烦闷的程度也越厉害。村落里冬天，不读，不写，天黑后有蜡烛给他们一些光，炉灶的烟，冷得彻骨。消遣严冬方式也太少。总之，越是隔夜过得好玩，越是明到显得无聊。
忍受单调生活的能力，应从自幼培养。一切伟大的成就必须历久不懈的工作，精神贯注与艰难的程度，使人没有余力去应付狂热的娱乐，假日恢复体力的运动除外。消除烦恼的方法就是明白那使你操心的事根本无关重要。迟疑不决最折磨人，也最无裨实际。一个人遇到最恶劣的事情，也无影响宇宙的重要性，等事情过了很久，把可能的恶事坚毅地瞩视过了，抱着真切的信念自忖道:"也罢，毕竟也没有什么了不得。"
烦恼是恐惧的一种，而一切的恐惧都产生疲劳。一个人能学会不觉恐惧，就发觉日常生活的疲劳大为减少。恐惧之来，以为害最大的形式来说，是因为有些我们不愿正视的危险。现代伦理学最大的失败之一，便是恐惧。
恐惧一闯入脑海，人们便试着去想旁的事情，用娱乐、工作，用一切去转移自己的念头。因不敢正视，每种恐惧越变超严重。对付恐惧的正当办法是集中精神，合理地、镇静地把恐惧想一个彻底，一直到完全熟悉为止。（配图：任玉岭先生作品）
卢梭的文化符号是忏悔孤独，叔本华的文化符号是生存虚幻，尼采的文化符号是上帝死了，培根的文化符号是宏大叙事，梭罗的文化符号是恬静落寞，杜威的文化符号是实用主义，罗素的文化符号是博大精深……罗素作为一个世界公民，数十年来如一日，奔走于东西，穿梭在欧美，不辞辛劳，殚精竭虑，为反战而屡遭厄运，为和平而不遗余力。
罗素将健康、满足需要、愉快的人际关系、成功的工作列为四个最为重要的因素。
绝大多数的人，他们拥有很多东西，本来可以使自己快快乐乐的，但只是因为别人似乎拥有更多一点的东西而产生了烦恼。虚荣心一过了头，把每种活动本身的乐趣毁掉了，于是使不了避免地无精打采，百无聊赖。原因往往是缺乏自信，对症的药是培养自尊心。
世界上各个时代有各种提倡孤独的哲学，有的高尚，有的稍逊。百年前的社会里，人人必然感到烦闷，越往古追溯上去，烦闷的程度也越厉害。村落里冬天，不读，不写，天黑后有蜡烛给他们一些光，炉灶的烟，冷得彻骨。消遣严冬方式也太少。总之，越是隔夜过得好玩，越是明到显得无聊。
忍受单调生活的能力，应从自幼培养。一切伟大的成就必须历久不懈的工作，精神贯注与艰难的程度，使人没有余力去应付狂热的娱乐，假日恢复体力的运动除外。消除烦恼的方法就是明白那使你操心的事根本无关重要。迟疑不决最折磨人，也最无裨实际。一个人遇到最恶劣的事情，也无影响宇宙的重要性，等事情过了很久，把可能的恶事坚毅地瞩视过了，抱着真切的信念自忖道:"也罢，毕竟也没有什么了不得。"
烦恼是恐惧的一种，而一切的恐惧都产生疲劳。一个人能学会不觉恐惧，就发觉日常生活的疲劳大为减少。恐惧之来，以为害最大的形式来说，是因为有些我们不愿正视的危险。现代伦理学最大的失败之一，便是恐惧。
恐惧一闯入脑海，人们便试着去想旁的事情，用娱乐、工作，用一切去转移自己的念头。因不敢正视，每种恐惧越变超严重。对付恐惧的正当办法是集中精神，合理地、镇静地把恐惧想一个彻底，一直到完全熟悉为止。（配图：任玉岭先生作品）
道家思想中，关于万物的起源，我们最为熟知就是老子在《道德经》四十二章中说的：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”

这一句非常出名，因为这是老子关于万物起源的学说，而且有很多的解读版本，这里的“一”究竟是什么？
有的版本说，这是“太极”。道生太极，太极生两仪。而太极这个说法，在《周易》和《庄子》中都有提及，《周易·系辞》中说：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”；《庄子·大宗师》中说：“夫道……在太极之先而不为高，在六极之下而不为深，先天地生而不为久，长于上古而不为老。”。所以，很多人将老子这里的“道生一”的“一”解读为“太极”。但其实我感觉并不好理解，那更好理解是什么呢？

其实这里的“道生一”，个人觉得更好的解释是“统一”，而这个“统一”里面蕴含着“阴阳”两个方面，两种力量，阴阳二者参与到一起相互作用形成万事万物。
其实，在这一句后面，还有一句话更重要，但很多人忽视了，那就是：“万物负阴而抱阳，冲气以为和”。为什么呢？
我们都道家思想是一种辩证思维，强调任何事物都具有两面，并且两面是相辅相成的，不可能孤立存在，而只有这两个相对面和谐共处了，才能成就万物。所以老子说：“万物负阴而抱阳，冲气以为和”，这句话什么意思呢？其实老子在这里强调的是，万物都是持阴阳二气的相交而生，阴阳二者相互中和，从而才孕育了万物（这里的“冲”，其实也可以理解为“中”）。

所以，将老子这句话合起来，用通俗的意思来理解就是说，道是阴阳两者的和谐统一，而只有这两者和谐统一，相互作用，才能产生万物，就像精子和卵子在一起，孕育了新的生命这个过程一样。
而且关于阴阳两者的和谐统一，产生了复杂多变的万物（三表是多的意思），这个思想在《庄子·则阳》这一篇中，庄子也有具体的论述，庄子说：“是故天地者，形之大者也；阴阳者，气之大者也；道者为之公。”
意思是说：天和地，是形体中最大的；阴与阳，是元气中最大的；而道却把天地、阴阳相贯通和统一起来了。这其实也呼应了老子说的“道生一，一生二，二生三，三生万物”。

要理解道家思想，如果仅仅理解这层意思显然是不够的。事物有两面性，然后呢？
其实道家思想不仅指出了万事万物的两面性，更重要的是，它阐释了这两面之间的关系，什么关系呢？有三个关键点，理解这几点，才算真正理解道家思想的核心和精髓，让我们简单聊聊。
首先：这两面是相对的，不是绝对的。好坏、强弱、善恶、美丑都是相对的，就像老子说“天下皆知美之为美，斯恶已。皆知善之为善，斯不善已。”，以及“祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。”都是阐述了这种相对性的概念，这个很重要，其实道家思想跳脱了人类的单一视觉。比如你觉得善良的，可能从另外一个角度看就是恶的，比如人类喂养牲畜以供我们饮食，但从牲畜的角度来说我们就是残忍的。
其次：这两面不仅相对，而是会相互转化的。这一点也非常重要，就像一个人有善良的一面，也有恶的一面，而且善恶会相互转化。就像老子说的“反者，道之动；弱者，道之用”，任何事物都有向相反方向运行变化的趋势，这就是道家思想为什么强调“弱”的一面，因为“弱”的一面我们很容易忽视，尤其是我们我们得势的时候，其实危机种子就已经埋下了。所以，道家思想可以时刻提醒我们：居安思危。

再次：事物的正面两面运动变化有什么特点呢？四个字：物极必反。“物极必反”这个思想可以说渗透到整个道家思想，事物发展到了一个极端，就会向相反的方向发展，这是必然趋势。有句话说的好“上帝要你灭亡，先让你疯狂”。庄子在《庄子·则阳》中也说“随序之相理，挢运之相使，穷则反，终则始，此物之所有。言之所尽，知之所至，极物而已。”，庄子说：随着四时运动的顺序，产生了阴阳的活动，物极则反，终而复始。这是万物所具有的现象，言语所能穷尽的，知识所能到达的，只是限于万物的范围。
关于“物极必反”的道理，我们古代很多成语都有体现，比如“剥极则复、 日中则昃、 极则必反、 乐极生悲、 穷则思变、 否极泰来、 剥极将复、 周而复始、 月盈则亏、置之死地而后生”都是体现了这种思想。其实在西方的古希腊，思想家们也同样有这种智慧，在古希腊阿波罗神庙的石碑上就刻着两行字，是千百年来人类智慧的结晶，这两行字是：凡事勿过度，认识你自己。
所以，其实道理就那么多，人类的古老智慧，不管东方还是西方，都是相通的。

这一句非常出名，因为这是老子关于万物起源的学说，而且有很多的解读版本，这里的“一”究竟是什么？
有的版本说，这是“太极”。道生太极，太极生两仪。而太极这个说法，在《周易》和《庄子》中都有提及，《周易·系辞》中说：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”；《庄子·大宗师》中说：“夫道……在太极之先而不为高，在六极之下而不为深，先天地生而不为久，长于上古而不为老。”。所以，很多人将老子这里的“道生一”的“一”解读为“太极”。但其实我感觉并不好理解，那更好理解是什么呢？

其实这里的“道生一”，个人觉得更好的解释是“统一”，而这个“统一”里面蕴含着“阴阳”两个方面，两种力量，阴阳二者参与到一起相互作用形成万事万物。
其实，在这一句后面，还有一句话更重要，但很多人忽视了，那就是：“万物负阴而抱阳，冲气以为和”。为什么呢？
我们都道家思想是一种辩证思维，强调任何事物都具有两面，并且两面是相辅相成的，不可能孤立存在，而只有这两个相对面和谐共处了，才能成就万物。所以老子说：“万物负阴而抱阳，冲气以为和”，这句话什么意思呢？其实老子在这里强调的是，万物都是持阴阳二气的相交而生，阴阳二者相互中和，从而才孕育了万物（这里的“冲”，其实也可以理解为“中”）。

所以，将老子这句话合起来，用通俗的意思来理解就是说，道是阴阳两者的和谐统一，而只有这两者和谐统一，相互作用，才能产生万物，就像精子和卵子在一起，孕育了新的生命这个过程一样。
而且关于阴阳两者的和谐统一，产生了复杂多变的万物（三表是多的意思），这个思想在《庄子·则阳》这一篇中，庄子也有具体的论述，庄子说：“是故天地者，形之大者也；阴阳者，气之大者也；道者为之公。”
意思是说：天和地，是形体中最大的；阴与阳，是元气中最大的；而道却把天地、阴阳相贯通和统一起来了。这其实也呼应了老子说的“道生一，一生二，二生三，三生万物”。

要理解道家思想，如果仅仅理解这层意思显然是不够的。事物有两面性，然后呢？
其实道家思想不仅指出了万事万物的两面性，更重要的是，它阐释了这两面之间的关系，什么关系呢？有三个关键点，理解这几点，才算真正理解道家思想的核心和精髓，让我们简单聊聊。
首先：这两面是相对的，不是绝对的。好坏、强弱、善恶、美丑都是相对的，就像老子说“天下皆知美之为美，斯恶已。皆知善之为善，斯不善已。”，以及“祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。”都是阐述了这种相对性的概念，这个很重要，其实道家思想跳脱了人类的单一视觉。比如你觉得善良的，可能从另外一个角度看就是恶的，比如人类喂养牲畜以供我们饮食，但从牲畜的角度来说我们就是残忍的。
其次：这两面不仅相对，而是会相互转化的。这一点也非常重要，就像一个人有善良的一面，也有恶的一面，而且善恶会相互转化。就像老子说的“反者，道之动；弱者，道之用”，任何事物都有向相反方向运行变化的趋势，这就是道家思想为什么强调“弱”的一面，因为“弱”的一面我们很容易忽视，尤其是我们我们得势的时候，其实危机种子就已经埋下了。所以，道家思想可以时刻提醒我们：居安思危。

再次：事物的正面两面运动变化有什么特点呢？四个字：物极必反。“物极必反”这个思想可以说渗透到整个道家思想，事物发展到了一个极端，就会向相反的方向发展，这是必然趋势。有句话说的好“上帝要你灭亡，先让你疯狂”。庄子在《庄子·则阳》中也说“随序之相理，挢运之相使，穷则反，终则始，此物之所有。言之所尽，知之所至，极物而已。”，庄子说：随着四时运动的顺序，产生了阴阳的活动，物极则反，终而复始。这是万物所具有的现象，言语所能穷尽的，知识所能到达的，只是限于万物的范围。
关于“物极必反”的道理，我们古代很多成语都有体现，比如“剥极则复、 日中则昃、 极则必反、 乐极生悲、 穷则思变、 否极泰来、 剥极将复、 周而复始、 月盈则亏、置之死地而后生”都是体现了这种思想。其实在西方的古希腊，思想家们也同样有这种智慧，在古希腊阿波罗神庙的石碑上就刻着两行字，是千百年来人类智慧的结晶，这两行字是：凡事勿过度，认识你自己。
所以，其实道理就那么多，人类的古老智慧，不管东方还是西方，都是相通的。
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