意思就是关于0雨票友身份及周边的一些言论，关于那个小黄老师真的很0以及DP绝世美人1也太香了[失望]
嚎过很多遍0某的2011……鉴于那会儿某社还没在hg演所以也没什么可能那两位碰个面，遂开始琢磨赓集[失望]srds赓集确实是厉害的希望他听过现场，毕竟天时地利人和的不是（。
同样感慨过为什么0雨粉丝里似乎就我搞青社搞得死去活来，并没有得到答案，但青社真香。DP唱老生真好听。
来个菩萨和我直抒一下对4️⃣那个平的胸臆，怎么就我搞煌[失望]没有人对他有世俗欲望吗他涩得要死。
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同样感慨过为什么0雨粉丝里似乎就我搞青社搞得死去活来，并没有得到答案，但青社真香。DP唱老生真好听。
来个菩萨和我直抒一下对4️⃣那个平的胸臆，怎么就我搞煌[失望]没有人对他有世俗欲望吗他涩得要死。
早盘关注：
昨天大盘最后一小时缩量上涨，外围股市微涨微跌，消息面偏向平静。
今天大盘应该小幅低开或平开，下探时关注3543点附近的支撑，强支撑在3530点附近；回抽时关注3578点附近的压力，强压力在3585点附近。
煤炭期货经过连续大跌以后，昨晚焦煤、焦炭、动力煤等三大煤炭期货再次全线跌停，美原油期货收跌逾2.3%，美股石油、化工板块领跌市场，今天A股市场这些板块也将受到较大压力，现在主要是经过连续利空打压的房地产、白酒板块能否出现护盘，如果这些板块还是像昨天一样下跌，那大盘本轮将回踩3500点附近。
技术上，大盘自前天冲高回落以后，目前已经回踩到前期整理平台3550点附近，平台下沿在3515点至3530点之间，这附近必将出现抵抗下跌，如果今天大盘惯性回踩到这附近，我们认为是大家补仓的机会，随后大盘会出现1天左右的反弹，反弹的高点看3580点附近，随后大盘还有再次向下寻底，因为昨天大盘出现的只是5分钟底背离，大盘还需要震荡出更大级别的底背离才能逐步企稳。
大盘最低回踩3553点，基本接近股王提示的低点3550点附近，整体还是出现了一定的反弹，就目前看3550点附近应该就是今天的低点，随后会有反弹。
版块个股分析
1、仍然是市场最强方向，涨停十几只，主要是版块个股走的都非常好稳步走高，版块前排全部是几亿的净买入，大盘股都动了资金流入不少，光伏逻辑不用多讲，继续看好，继续重点关注。
华能国际每次出来都是被机构爆买，昨天低开高走出龙虎榜数据又是被机构和北上资金霸屏，不得不感叹，机构才是真的土豪，钱用不完，这票的流通盘都快买完了，估计有些人会很疑惑，华能国际三季报这么差，为什么机构这么拼命买？
这些资金大家应该都知道是市场嗅觉最敏锐的，这么买肯定是有原因的，很简单，因为华能国际是绿电企业里面截至目前为止，绿电装机量第一的企业而且是遥遥领先以后只会更多，这票机构这么买，加上股王告诉大家的这个消息基本上就是告诉你们一个意思，这票是个大牛股，这个行业是个高增长的朝阳行业，以后只会更好，当然这种明牌的票会洗盘，洗到所有人都不记得了才会默默走强，后续值得关注，至于短线预计还是会有反复波动。
这票其实是目前清洁能源最有代表性的个股，再加上昨天盘后龙虎榜数据显示机构又刷屏清洁能源概念股，其实资金态度很明确了，短期重点仍然在清洁能源方向。光伏作为清洁能源里面最大最有成长性的分支肯定会持续走强的，光伏继续重点关注即可。
科士达：光伏+储能+充电桩+锂电池概念股，大家应该比较熟，这票给只给大家一个简单的分析大家就能懂。周一业绩不及预期13个点的放量大阳线尾盘都不回落说明非常强势，前天只是缩量窄幅震荡还两次冲高给了所有人最高点赚钱跑路机会，给所有人赚钱跑路机会明显是洗浮筹；昨天更是继续缩量窄幅震荡完全没有出货迹象。说明进去的资金全部沉淀下来了，完全不想出来，今天可逢低关注短线机会，看好这票的后续走势，这波看看能到多少。
2、化工非常强劲，而且有越走越强迹象，加速的不要去追，留意低位的票即可。川恒股份也有几个点的肉了，走了没走都不算错，自己决定去留即可
之前只是磷化工走强，昨天是整个化工版块有走强迹象，昨天走的最强的是PVDF分支，前期滞涨的PVDF概念股都有启动补涨，天壕环境直接20cm就是这个原因，版块越走越强，之前的强势股也有启动迹象。
湖北宜化，化工版块这波核心，已经讲了非常多次了不具体讲了，一个很简单的分析方法，没放巨量没加速，龙虎榜数据也不算差这票短期仍然不会结束，这票不结束化工版块就会越走越强。
PVDF其实之前走强也是锂电池的价值重估线，启动也很合理，既然PVDF作为化工版块除了磷化工外最先启动的分支，而且强度这么强，短期可以继续关注一下。另一个在于红宝丽、氯碱化工这些前期人气股都动了，可有继续关注这个方向。
巨化股份：氟化工+PVDF概念龙头，这票是PVDF概念真正的龙头，业绩和基本面都非常好，下午抢筹迹象非常明显，最高点附近收盘无回落迹象，既然PVDF概念启动，这票肯定不会缺席，逢低关注短线机会。
3、储能走势不算强势，但是大家也看到了，储能方向的消息其实也是很多的，只是被风电、光伏掩盖了锋芒，还有个原因是储能方向个股业绩还没释放三季报业绩应该都不算特别好，所以没表现，但是随着业绩逐渐落地，储能方向也要动了，储能方向继续重点关注，仍然是会出大牛股的地方。
文山电力，电力+抽水储能概念股，8个一字板，现在的并购都有点厉害，动不动就上十个一字板，文山电力是很正宗的电力、储能概念股，到昨天还有16亿封单，不过换手已经超过1%了应该随时可能开板换手，依当前版块情况和凤凰光学给的反馈如果今天开板的话大概率仍然能封住，这票当做版块风向标看待即可，只要不是杀的太惨，应该对清洁能源版块都算正反馈。
科泰电源：储能+新能源汽车+锂电池+数字能源概念股，昨天最高涨9%可惜回落了，成本价附近，不过这个走势还是很漂亮的。今天有绿盘机会的话仍然可以逢低关注，做做T多点耐心。
4、风电电力，昨天最强的方向，昨晚一系列消息就直指风电、光伏等绿电，所以启动合理，不过昨天这个强度是非常超预期的，盘后龙虎榜数据显示机构大买的基本都有风电概念，只能说风电电力比预计的还要强。
大金重工，还是这个表格，除了前两个，后面六个都是正宗的风电概念股，所以从盘面和龙虎榜数据来看风能才是最强的。最有代表性的自然是大金重工，一直是版块的定海神针，版块无论怎么调整这票都没有跌破10日线，稳步走高，目前已经好几倍了都没有见顶迹象，他不见顶，风电版块都不会真正结束。
四方股份：光伏+储能+智能电网+特高压概念股，也是大家很熟的票，这几天稳步走高资金介入非常多，应该又是一波行情开始了，逢低关注短线机会。
北方稀土 (600111)
公司是中国乃至全球最大的稀土产品供应商。公司主要生产经营稀土原料产品(稀土盐类、稀土氧化物及稀土金属)、稀土功能材料产品(稀土磁性材料、抛光材料、贮氢材料、发光材料、催化材料)和部分稀土应用产品(镍氢动力电池、稀土永磁磁共振仪、LED灯珠)。北方稀土是我国最早建立并发展壮大的国有控股稀土企业。经过 60 多年的建设与发展,公司在行业内率先发展成为集稀土选矿、冶炼、功能 材料、应用产品、科研和贸易一体化的集团化企业,形成以稀土资源控制为基础、冶炼分离为核心、新材料领域建设为重点、终端应用为拓展方向的产业结构,实现稀土上中下游一体化发展,构筑了领先的全产业链优势。
目前市场轮动比较快，稀土这个方向比较有希望，可以考虑低吸机会。
伊戈尔 (002922)
公司专注于消费及工业领域用电源及电源组件产品的研发、生产及销售。公司产品可广泛应用于消费及工业领域的各类电子电器、电气设备。目前公司产品主要集中应用于节能、高效、前景广的照明、工业自动化及清洁能源行业。公司产品均为自主研发。公司以市场、客户需求为导向,开展技术研发和新产品开发,不断获得性能优异、成本较低的技术、工艺,并及时推出高附加值的新产品。目前公司拥有79项专利,其中包括13项发明专利,计算机软件著作权5项。鉴于公司优秀的技术研发能力,公司被广东省科学技术厅、财政厅等单位认定为“高新技术企业”,被广东省经济和信息化委、财政厅认定为“省级企业技术中心”。领先的技术研发能力有助于公司以合适的价格及时为客户提供优质产品,不断扩大产品线,提高现有客户的业务量并吸引新客户,增强公司产品的综合竞争力。
该股走到今天获利盘不少，今天的买点必须是低位或绿盘，否则宁愿错过也不参与。 #今日看盘# #投资# #新浪财经#
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PVDF其实之前走强也是锂电池的价值重估线，启动也很合理，既然PVDF作为化工版块除了磷化工外最先启动的分支，而且强度这么强，短期可以继续关注一下。另一个在于红宝丽、氯碱化工这些前期人气股都动了，可有继续关注这个方向。
巨化股份：氟化工+PVDF概念龙头，这票是PVDF概念真正的龙头，业绩和基本面都非常好，下午抢筹迹象非常明显，最高点附近收盘无回落迹象，既然PVDF概念启动，这票肯定不会缺席，逢低关注短线机会。
3、储能走势不算强势，但是大家也看到了，储能方向的消息其实也是很多的，只是被风电、光伏掩盖了锋芒，还有个原因是储能方向个股业绩还没释放三季报业绩应该都不算特别好，所以没表现，但是随着业绩逐渐落地，储能方向也要动了，储能方向继续重点关注，仍然是会出大牛股的地方。
文山电力，电力+抽水储能概念股，8个一字板，现在的并购都有点厉害，动不动就上十个一字板，文山电力是很正宗的电力、储能概念股，到昨天还有16亿封单，不过换手已经超过1%了应该随时可能开板换手，依当前版块情况和凤凰光学给的反馈如果今天开板的话大概率仍然能封住，这票当做版块风向标看待即可，只要不是杀的太惨，应该对清洁能源版块都算正反馈。
科泰电源：储能+新能源汽车+锂电池+数字能源概念股，昨天最高涨9%可惜回落了，成本价附近，不过这个走势还是很漂亮的。今天有绿盘机会的话仍然可以逢低关注，做做T多点耐心。
4、风电电力，昨天最强的方向，昨晚一系列消息就直指风电、光伏等绿电，所以启动合理，不过昨天这个强度是非常超预期的，盘后龙虎榜数据显示机构大买的基本都有风电概念，只能说风电电力比预计的还要强。
大金重工，还是这个表格，除了前两个，后面六个都是正宗的风电概念股，所以从盘面和龙虎榜数据来看风能才是最强的。最有代表性的自然是大金重工，一直是版块的定海神针，版块无论怎么调整这票都没有跌破10日线，稳步走高，目前已经好几倍了都没有见顶迹象，他不见顶，风电版块都不会真正结束。
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北方稀土 (600111)
公司是中国乃至全球最大的稀土产品供应商。公司主要生产经营稀土原料产品(稀土盐类、稀土氧化物及稀土金属)、稀土功能材料产品(稀土磁性材料、抛光材料、贮氢材料、发光材料、催化材料)和部分稀土应用产品(镍氢动力电池、稀土永磁磁共振仪、LED灯珠)。北方稀土是我国最早建立并发展壮大的国有控股稀土企业。经过 60 多年的建设与发展,公司在行业内率先发展成为集稀土选矿、冶炼、功能 材料、应用产品、科研和贸易一体化的集团化企业,形成以稀土资源控制为基础、冶炼分离为核心、新材料领域建设为重点、终端应用为拓展方向的产业结构,实现稀土上中下游一体化发展,构筑了领先的全产业链优势。
目前市场轮动比较快，稀土这个方向比较有希望，可以考虑低吸机会。
伊戈尔 (002922)
公司专注于消费及工业领域用电源及电源组件产品的研发、生产及销售。公司产品可广泛应用于消费及工业领域的各类电子电器、电气设备。目前公司产品主要集中应用于节能、高效、前景广的照明、工业自动化及清洁能源行业。公司产品均为自主研发。公司以市场、客户需求为导向,开展技术研发和新产品开发,不断获得性能优异、成本较低的技术、工艺,并及时推出高附加值的新产品。目前公司拥有79项专利,其中包括13项发明专利,计算机软件著作权5项。鉴于公司优秀的技术研发能力,公司被广东省科学技术厅、财政厅等单位认定为“高新技术企业”,被广东省经济和信息化委、财政厅认定为“省级企业技术中心”。领先的技术研发能力有助于公司以合适的价格及时为客户提供优质产品,不断扩大产品线,提高现有客户的业务量并吸引新客户,增强公司产品的综合竞争力。
该股走到今天获利盘不少，今天的买点必须是低位或绿盘，否则宁愿错过也不参与。 #今日看盘# #投资# #新浪财经#
群作用(Group Action）
在数学中，空间上的群作用是给定群在空间变换群中的群同态。类似地，对一个数学结构的群作用是把一个群的群同态化为该结构的自同态群。据说群体作用于空间或结构。如果一个组对一个结构起作用，那么它通常也会对由该结构构建的对象起作用。例如，欧几里得等距组作用于欧几里得空间，也作用于其中所画的图形。特别地，它作用于所有三角形的集合。类似地，多面体的对称群作用于多面体的顶点、边和面。
在(有限维)向量空间上的群作用称为群表示。它允许用GL(n, K)的子群标识许多群，GL(n, K)是一个域上的维数为n的可逆矩阵群。对称群Sn作用于任何有n个元素的集合，方法是对集合中的元素进行置换。虽然一个集合的所有排列的组形式上依赖于该集合，但是群作用的概念允许人们考虑单个群(不是单群)研究具有相同基数的所有集合的排列。
一. 定义
1. 左群作用
如果G是一个具有单位元素e的群，而X是一个集合，那么G对X的左群作用α是一个函数
α: G x X —> X;
满足以下两个公理：
恒等：α:(e,x) = x；
兼容性：α(g, α(h,x)) = α(gh, z);
当考虑群作用从上下文中明确时，α(g, x) 通常缩短为gx或g⋅x：
恒等：e⋅x = x；
兼容性：g⋅(h,x) = (gh) ⋅ x;
对于G中的所有g和h以及X中的所有的x。据说群G作用于X(从左边开始)。集合X与G的动作一起称为(左)G 集。
根据这两个公理，对于G中的任何固定g，从X到自身的函数把x映射到g ⋅ x是一个双射，反双射是 g^(−1)的对应映射。因此，可以把G对X的群作用等价地定义为从G到从X到其自身的所有双射的对称群Sym(X) 的群同态。
2. 右群作用
同样，G 对 X 的右群作用是一个函数
α: X x G —> X;
考虑的当群作用从上下文中明确时，α(x, g)通常缩短为xg或x⋅g。
满足类似的公理：
恒等：x⋅e = x；
兼容性：(x⋅g) ⋅ h = x ⋅ (gh);
对于G中的所有g和h以及X中的所有x。
左作用和右作用之间的区别在于乘积gh作用于x的顺序。对于左作用，h先作用，然后是g。对于右作用，g先作用，然后是h。由于公式(gh)^(-1) = h^(-1) g^(-1)，可通过组合群的逆运算从右作用构造左作用。同样，群G在X上的右作用可被认为是其相对群G^(op)在X上的左作用。
因此，为建立组动作的一般属性，只考虑左作用就足够。但是，在某些情况下这是不可能的。例如，一个组的乘法导致对组本身的左作用和右作用—分别在左边和右边乘法。
二. 作用类型
G 对X的动作称为：
传递：如果X是非空的并且对于X中的每对x, y存在G中的g使得g⋅x = y，则是可传递的。例如，X的对称群的作用是传递的，向量空间V的一般线性群或特殊线性群对V∖{0} 的作用是传递的，而一个欧几里得的正交群的作用空间E在E∖{0}上不是可传递的(尽管它在E的单位球面上是可传递的)。
如果对于G中的每两个不同的g, h 存在一个x在 X 中使得g⋅x ≠ h⋅x，那么为忠实或有效；或者等效地，如果对于 G 中的每个 g ≠ e，则在X中存在一个x，使得g⋅x ≠ x。换句话说，在忠实群作用中，G 的不同元素引起X的不同置换(排列)。 [a]在代数术语中，群G忠实地作用于X当且仅当对称群 G → Sym( X)，有一个平凡的核。因此，对于忠实作用，G嵌入到 X上的置换群中；具体来说，G与其在Sym(X)中的像同构。如果G不忠实于X，我们可很容易地修改群以获得忠实的作用。如定 N = {g in G : g⋅x = x for all x in X}，则N是G的正规子群；实际上，它是同态G →Sym(X) 的核。因子群G/N通过设置(gN)⋅x = g⋅x 忠实地作用于 X。当且仅当N = {e} 时G对X的原始作用是忠实的。对于相同大小的，群可定义忠实作用的最小集合可能会有很大差异。例如：
三个大小为 120 的群是对称群 S5、二十面体群和循环群Z/120Z可定义忠实作用的最小集合的大小分别为 5、12 和 16。
大小为2^n的阿贝尔群包括循环群(Z/(2^nZ)或(Z/2Z)^n(Z/(2Z)的n个副本的直积，但后者忠实地作用于大小为 2n 的集合，而前者不能在比它小的集合上忠实地作用。
自由或半正则或无不动点：如果给定g, h在G 中，x中存在x且g⋅x = h⋅x 意味着g = h。等价地：若g是一个群元素且在X中存在一个x且g⋅x = x (即若g至少有一个不动点)，则g是恒等式。请注意非空集合上的自由作用是忠实的。
........
三. 轨道和稳定子
1. 轨道(orbits)
考虑作用在集合X上的群G。 X中元素x的轨道是 X 中元素的集合，G 的元素可将x移动到该集合。 x的轨道由G⋅x表示：
G ⋅ x = {g ⋅ x | g ∈ G };
群的定义性质保证在G的作用下(点 x in)X的轨道集合形成X的一个划分。相关的等价关系定义为x ∼ y当且仅当G中存在g且g⋅x = y。那么轨道就是这个关系下的等价类；两个元素 x和y是等价的，当且仅当它们的轨道相同，即 G⋅x = G⋅y。
群作用是可传递的，当且仅当它只有一个轨道，也就是说，如果在X中存在x且G⋅x = X。这是当且仅当G⋅x = X对于X中的所有x (鉴于X非空）。
在G的作用下X的所有轨道的集合被写为X/G(或G\X)且被称为作用的商。在几何情况下，它可能被称为轨道空间，而在代数情况下，它可能被称为共变量空间，并写作XG，与不变量(不动点)相反，表示为XG：共变量是商，而不变量是一个子集。共变术语和符号特别用于群上同调和群同调，它们使用相同的上标/下标约定。
2. 不变子空间
3. 不动点和稳定子群(stabilizers)
给定G中的g和X中的x且 g⋅x = x，可以说“x 是g的不动点”或“g 固定 x”。对于X中的每个 x，G 相对于x的稳定子群（也称为各向同性群或小群 [7]）是 G 中所有固定 x 的元素的集合：
G_{x}= {g ∈ G | g ⋅ x = x};
这是G的一个子群，虽然通常不是正规的。当且仅当所有稳定器都是平凡的时，G对X的作用是自由的。具有对称群G → Sym(X)的同态的核N由X中所有x的稳定子Gx的交集给出。如果N是平凡的，那么称该动作是忠实的或有效的。
设x和y是X中的两个元素，设g是一个群元素，使得y = g⋅x。那么两个稳定子群Gx 和 Gy 的关系为 Gy = g Gx g^(−1)。证明：根据定义，h ∈ Gy 当且仅当 h⋅(g⋅x) = g⋅x。将g^(−1) 应用于这个等式的两边产生(g^(−1)hg)⋅x = x；即g^(−1)hg ∈ Gx。通过取 h∈Gx并假设x = g^(−1)⋅y 类似地遵循相反的包含。
上面说在同一轨道上的元素的稳定子是相互共轭的。因此，对于每个轨道，我们可将G的一个子群即该子群的所有共轭的集合的一个共轭类相关联。令(H)表示H的共轭类。那么轨道O的类型为(H)。如果稳定子G_{x}在轨道O中的一些/任何x属于(H)。最大轨道类型通常称为主轨道类型。
wi/Group_action
在数学中，空间上的群作用是给定群在空间变换群中的群同态。类似地，对一个数学结构的群作用是把一个群的群同态化为该结构的自同态群。据说群体作用于空间或结构。如果一个组对一个结构起作用，那么它通常也会对由该结构构建的对象起作用。例如，欧几里得等距组作用于欧几里得空间，也作用于其中所画的图形。特别地，它作用于所有三角形的集合。类似地，多面体的对称群作用于多面体的顶点、边和面。
在(有限维)向量空间上的群作用称为群表示。它允许用GL(n, K)的子群标识许多群，GL(n, K)是一个域上的维数为n的可逆矩阵群。对称群Sn作用于任何有n个元素的集合，方法是对集合中的元素进行置换。虽然一个集合的所有排列的组形式上依赖于该集合，但是群作用的概念允许人们考虑单个群(不是单群)研究具有相同基数的所有集合的排列。
一. 定义
1. 左群作用
如果G是一个具有单位元素e的群，而X是一个集合，那么G对X的左群作用α是一个函数
α: G x X —> X;
满足以下两个公理：
恒等：α:(e,x) = x；
兼容性：α(g, α(h,x)) = α(gh, z);
当考虑群作用从上下文中明确时，α(g, x) 通常缩短为gx或g⋅x：
恒等：e⋅x = x；
兼容性：g⋅(h,x) = (gh) ⋅ x;
对于G中的所有g和h以及X中的所有的x。据说群G作用于X(从左边开始)。集合X与G的动作一起称为(左)G 集。
根据这两个公理，对于G中的任何固定g，从X到自身的函数把x映射到g ⋅ x是一个双射，反双射是 g^(−1)的对应映射。因此，可以把G对X的群作用等价地定义为从G到从X到其自身的所有双射的对称群Sym(X) 的群同态。
2. 右群作用
同样，G 对 X 的右群作用是一个函数
α: X x G —> X;
考虑的当群作用从上下文中明确时，α(x, g)通常缩短为xg或x⋅g。
满足类似的公理：
恒等：x⋅e = x；
兼容性：(x⋅g) ⋅ h = x ⋅ (gh);
对于G中的所有g和h以及X中的所有x。
左作用和右作用之间的区别在于乘积gh作用于x的顺序。对于左作用，h先作用，然后是g。对于右作用，g先作用，然后是h。由于公式(gh)^(-1) = h^(-1) g^(-1)，可通过组合群的逆运算从右作用构造左作用。同样，群G在X上的右作用可被认为是其相对群G^(op)在X上的左作用。
因此，为建立组动作的一般属性，只考虑左作用就足够。但是，在某些情况下这是不可能的。例如，一个组的乘法导致对组本身的左作用和右作用—分别在左边和右边乘法。
二. 作用类型
G 对X的动作称为：
传递：如果X是非空的并且对于X中的每对x, y存在G中的g使得g⋅x = y，则是可传递的。例如，X的对称群的作用是传递的，向量空间V的一般线性群或特殊线性群对V∖{0} 的作用是传递的，而一个欧几里得的正交群的作用空间E在E∖{0}上不是可传递的(尽管它在E的单位球面上是可传递的)。
如果对于G中的每两个不同的g, h 存在一个x在 X 中使得g⋅x ≠ h⋅x，那么为忠实或有效；或者等效地，如果对于 G 中的每个 g ≠ e，则在X中存在一个x，使得g⋅x ≠ x。换句话说，在忠实群作用中，G 的不同元素引起X的不同置换(排列)。 [a]在代数术语中，群G忠实地作用于X当且仅当对称群 G → Sym( X)，有一个平凡的核。因此，对于忠实作用，G嵌入到 X上的置换群中；具体来说，G与其在Sym(X)中的像同构。如果G不忠实于X，我们可很容易地修改群以获得忠实的作用。如定 N = {g in G : g⋅x = x for all x in X}，则N是G的正规子群；实际上，它是同态G →Sym(X) 的核。因子群G/N通过设置(gN)⋅x = g⋅x 忠实地作用于 X。当且仅当N = {e} 时G对X的原始作用是忠实的。对于相同大小的，群可定义忠实作用的最小集合可能会有很大差异。例如：
三个大小为 120 的群是对称群 S5、二十面体群和循环群Z/120Z可定义忠实作用的最小集合的大小分别为 5、12 和 16。
大小为2^n的阿贝尔群包括循环群(Z/(2^nZ)或(Z/2Z)^n(Z/(2Z)的n个副本的直积，但后者忠实地作用于大小为 2n 的集合，而前者不能在比它小的集合上忠实地作用。
自由或半正则或无不动点：如果给定g, h在G 中，x中存在x且g⋅x = h⋅x 意味着g = h。等价地：若g是一个群元素且在X中存在一个x且g⋅x = x (即若g至少有一个不动点)，则g是恒等式。请注意非空集合上的自由作用是忠实的。
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三. 轨道和稳定子
1. 轨道(orbits)
考虑作用在集合X上的群G。 X中元素x的轨道是 X 中元素的集合，G 的元素可将x移动到该集合。 x的轨道由G⋅x表示：
G ⋅ x = {g ⋅ x | g ∈ G };
群的定义性质保证在G的作用下(点 x in)X的轨道集合形成X的一个划分。相关的等价关系定义为x ∼ y当且仅当G中存在g且g⋅x = y。那么轨道就是这个关系下的等价类；两个元素 x和y是等价的，当且仅当它们的轨道相同，即 G⋅x = G⋅y。
群作用是可传递的，当且仅当它只有一个轨道，也就是说，如果在X中存在x且G⋅x = X。这是当且仅当G⋅x = X对于X中的所有x (鉴于X非空）。
在G的作用下X的所有轨道的集合被写为X/G(或G\X)且被称为作用的商。在几何情况下，它可能被称为轨道空间，而在代数情况下，它可能被称为共变量空间，并写作XG，与不变量(不动点)相反，表示为XG：共变量是商，而不变量是一个子集。共变术语和符号特别用于群上同调和群同调，它们使用相同的上标/下标约定。
2. 不变子空间
3. 不动点和稳定子群(stabilizers)
给定G中的g和X中的x且 g⋅x = x，可以说“x 是g的不动点”或“g 固定 x”。对于X中的每个 x，G 相对于x的稳定子群（也称为各向同性群或小群 [7]）是 G 中所有固定 x 的元素的集合：
G_{x}= {g ∈ G | g ⋅ x = x};
这是G的一个子群，虽然通常不是正规的。当且仅当所有稳定器都是平凡的时，G对X的作用是自由的。具有对称群G → Sym(X)的同态的核N由X中所有x的稳定子Gx的交集给出。如果N是平凡的，那么称该动作是忠实的或有效的。
设x和y是X中的两个元素，设g是一个群元素，使得y = g⋅x。那么两个稳定子群Gx 和 Gy 的关系为 Gy = g Gx g^(−1)。证明：根据定义，h ∈ Gy 当且仅当 h⋅(g⋅x) = g⋅x。将g^(−1) 应用于这个等式的两边产生(g^(−1)hg)⋅x = x；即g^(−1)hg ∈ Gx。通过取 h∈Gx并假设x = g^(−1)⋅y 类似地遵循相反的包含。
上面说在同一轨道上的元素的稳定子是相互共轭的。因此，对于每个轨道，我们可将G的一个子群即该子群的所有共轭的集合的一个共轭类相关联。令(H)表示H的共轭类。那么轨道O的类型为(H)。如果稳定子G_{x}在轨道O中的一些/任何x属于(H)。最大轨道类型通常称为主轨道类型。
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